Задолженный заказ

Материал из Supply Chain Management Encyclopedia

Перейти к: навигация, поиск

English: Planned backorders

Содержание

Основные предположения модели

Рассмотрим модель Экономичный размер заказа (EOQ). В дополнение к основным предположениям этой модели предположим, что при отсутствии на складе достаточного количества продукции спрос может быть удовлетворен позднее – при следующем поступлении заказа. [1]. Объем спроса, который не может быть удовлетворен, становится задолженным. Запас на складе полностью расходуется для удовлетворения имеющегося спроса, задолженный заказ формируется только в случае пустого склада.

Точка перезаказа

Определим новые функции, и переопределим функции, которые использовались в модели экономичного размера заказа.

\,I(t) – запасы на складе в момент \,t;

\,B(t) -- задолженный заказ в момент \,t;

\,IN(t) -- общий запас в момент \,t, \,IN(t)=I(t)-B(t);

\,IO(t) -- заказанная продукция (запасы, заказа на которые уже размещен, но еще не выполнен) в момент \,t;

\,IP(t) -- состояние запасов в момент \,t, \,IP(t)=IN(t)+IO(t).

Новыми функциями являются следующие: \,B(t) и \,IN(t). Функция \,IP(t) имеет новый смысл.


Общий запас \,IN(t) содержит информацию как о \,I(t) так и о \,B(t): В каждый момент времени, по крайней мере, одна из этих двух функций принимает нулевое значение, поскольку спрос удовлетворяется при наличии запаса на складе. Следовательно,

\,IN(t)=\left\{\begin{array}{ll} {I(t)} & { IN(t)\ge 0} \\ {-B(t)} & { IN(t)<0} \end{array}\right.

В соответствии с определением функции \,IN(t) задолженный заказ рассматривается как отрицательный запас. Такой подход вполне оправдан, если предположить, что между двумя моментами поставки \,IN(t) убывает линейно в соответствии с интенсивностью спроса \,\lambda , несмотря на то, принимает ли \,IN(t) положительные или отрицательные значения.

В момент поступления заказа \,IN(t) увеличивается на \,q, причем часть вновь поступившего запаса расходуется на погашение задолженного заказа, оставшаяся часть переходит на склад.

Таким образом, \,IN(t) изменяется также, как и \,I(t) в экономичной модели заказа. При этом в рассматриваемой модели функция \,I(t) является более сложной, рис. 1.

RuBZ1.jpg

Рассмотрим,

\,IN(t+L)=IN(t)+IO(t)-D=IP(t)-D  \, \, \, \, \, \, \, (1)

Это выражение описывает закон сохранения потока в системе: между \,t и \,t + L, \,IO(t) добавляется к общему запасу и \,D вычитается.

Таким образом, \,IP(t) содержит всю информацию, необходимую для расчета общего запаса в будущем через \, L периодов.

Как и в модели экономичного размера заказа предположим, что на каждой цикле объем заказа остается неизменным \,q>0. Ответ на вопрос Когда заказывать? Теперь становится более сложным. Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть вторую переменную оптимальной политики управления запасами в дополнение к \,q:

\,r - точка перезаказа (шт.)

Эта переменная может принимать любые действительные значения, положительные и отрицательные. Рассмотрим следующую политику:

Наблюдать за запасами на складе \,IP(t) непрерывно. Когда \,IP(t^{-} )=r, разместить новый заказа размера \,q в момент \,t.

(Модель экономичного размера заказа является частным случаем настоящей модели при \,r = D.)

Поскольку данная политика содержит две переменные, то она называется точкой перезаказа/оптимального размера заказа или \,(r,q) policy.

На рисунке 2 изображен график функций \,IN(t) и \,IP(t) при такой политике управления запасами.

RuBZ2.jpg

График имеет такой же вид, как и в модели экономичного размера, только имеет сдвиг по вертикали в зависимости от значения \,r.

Критерий оптимальности

Как и в модели экономичного размера заказа, целевая функция строится с учетом среднего размера запаса \,\overline{I} и частотой заказа \,\overline{OF}.

В дополнение к этому в модели задолженного заказа учитываются следующие показатели:

\,\overline{B} - средний размер задолженного размера заказа на продолжительном промежутке времени:

\,\overline{B}=\mathop{\lim }\limits_{T\to \infty } \frac{1}{T} \int _{0}^{T}B(t)dt

\,v -- резервный запас,

\,v=r-D,

\,y -- резервное время,

\,y=\frac{v}{\lambda } .

Как \,v, \,y может принимать отрицательные значения.

Каждому значению \,q соответствует определенное значение $v$: уравнение (1) означает, что общий запас \,IN(t^{-} ) в момент завершения цикла принимает значение \,v, таким образом \,IN(t)=v+q в момент начала нового цикла. Следовательно,

Если \,v>0, тогда для всех \,t

\,I(t)>v>0 и \,B(t)=0

Если \,v<-q, тогда для всех \,t

\,I(t)=0 и \,B(t)>-(v+q)>0

Оба случая являются тривиальными: в случае 1, имеется больше запасов, чем требуется; в случае 2 задолженный заказ не удовлетворяется полностью. Таким образом, далее рассматривается случай \,-q\le v\le 0. Следовательно, \,v принимает неположительные значения (так же как и \,y), и каждый прибывающий заказ удовлетворяет задолженный заказ.

Таким образом, каждый цикл состоит из двух частей: одна часть имеет продолжительность \,u+y=(q+v)/\lambda , в течение которой запас имеется на складе; и вторая часть продолжительности \,-y=-v/\lambda , в течение которой накапливается задолженный заказ (рис. 3). Обе эти части составляют следующие доли от полного цикла, соответственно: \,(q+v)/q и \,-v/q.

RuBZ3.jpg

Средняя величина запаса рассчитывается по формуле \,\frac{1}{2} (q+v) для первой части цикла и равна 0 для второй. Среднее значение запаса в течение всего цикла есть среднее взвешенное для обеих частей:

\,\overline{I}=\left(\frac{q+v}{q} \right)\left(\frac{1}{2} (q+v)\right)+\left(\frac{-v}{q} \right)(0)=\frac{1}{2} \frac{(q+v)^{2} }{q} .

Аналогично, среднее значение величины задолженного заказа для первой части цикла равно 0, и \,\frac{1}{2} (-v) – для второй части, следовательно:

\,\overline{B}=\left(\frac{q+v}{q} \right)(0)+(-v/q)\left(\frac{1}{2} (-v)\right)=\frac{1}{2} \frac{v^{2} }{q} .

В результате, продолжительность цикла есть \,u=\frac{q}{\lambda } , следовательно:

\,\overline{OF}=\frac{\lambda }{q} .

Очевидно, что представленные выше критерии находятся в противоречии (как возрастающие и убывающие функции ). Приведем эти критерии в критерий, измеряемый в денежных единицах. Рассмотрим параметры \,k, \,c и \,h, которые определены в модели экономичного размера заказа. Предположим, что мы также можем оценить параметр, характеризующий затраты, вызванные отложенным заказом:

\,b - затраты, связанные с единицей задолженного заказа во время одного периода времени (деньги/[шт. * время])

Таким образом, средние затраты в единицу времени принимают вид:

\,C(v,q)=(k+cq)\overline{OF}+h\overline{I}+b\overline{B}=

\,=c\lambda +\frac{k\lambda }{q} +\frac{1}{2} \frac{h(q+v)^{2} }{q} +\frac{1}{2} \frac{bv^{2} }{q} .

Оптимальная стратегия

Функция затрат \,C(v,q) является функцией двух переменных. Для нахождения точки минимума рассмотрим условие первого порядка (\,C является непрерывно-дифференцируемой и выпуклой на всей области определения):

\,\frac{\partial C}{\partial v} =\frac{h(q+v)}{q} +\frac{bv}{q} =0

\,\frac{\partial C}{\partial q} =\frac{-k\lambda }{q^{2} } +\frac{1}{2} \frac{h(q^{2} -v^{2} )}{q^{2} } -\frac{1}{2} \frac{bv^{2} }{q^{2} } =0

Рассмотрим коэффициент

\,\omega =\frac{b}{b+h}

тогда единственное оптимальное решение рассматриваемой задачи принимает вид:

\, q^{*} =\sqrt{\frac{2k\lambda }{h} } \sqrt{\frac{1}{\omega } }

\, v^{*} =-(1-\omega )q^{*}

\, C^{*} =C(v^{*} ,q^{*} )=c\lambda +\sqrt{2k\lambda h\omega }


References

  1. Zipkin P. (2000) Foundations of inventory management; The McGraw-Hill Companies, Inc.
Личные инструменты
Our Partners