|
|
Строка 1: |
Строка 1: |
- | Рассматривается случай статического объема спроса.
| + | <math>\, D_{i}</math> - интенсивность спроса на ресурс; |
- | | + | |
- | ==Основные предположения модели==
| + | |
- | | + | |
- | * рассматривается задача управления несколькими видами запаса;
| + | |
- | | + | |
- | * складское пространство ограничено;
| + | |
- | | + | |
- | * интенсивность спроса на ресурс (количество единиц ресурса, потребляемых в единицу времени) - постоянная величина (константа);
| + | |
- | | + | |
- | * закупочная цена единицы ресурса постоянна (константа, не зависит от объема заказа);
| + | |
- | | + | |
- | * удельные затраты на хранение в единицу времени (затраты на хранение единицы ресурса в единицу времени) - постоянная величина (константа);
| + | |
- | | + | |
- | * затраты на оформление, связанные с размещением заказа, - постоянная величина (константа);
| + | |
- | | + | |
- | * заказ размещается и пополняется мгновенно;
| + | |
- | | + | |
- | * дефицит отсутствует.
| + | |
- | | + | |
- | ==Основные обозначения==
| + | |
- | | + | |
- | Для запасов вида <math>\, i</math>, <math>\, i=1,2,...,n</math>:
| + | |
- | | + | |
- | * <math>\, D_{i}</math> - интенсивность спроса на ресурс;
| + | |
- | | + | |
- | * <math>\, h_{i}</math> - удельные затраты на хранение;
| + | |
- | | + | |
- | * <math>\, K_{i}</math> - затраты на оформление, связанные с размещением заказа;
| + | |
- | | + | |
- | * <math>\, TCU(y)</math> - суммарные затраты в единицу времени;
| + | |
- | | + | |
- | * <math>\, y_{i}</math> - объем заказа (количество единиц ресурса);
| + | |
- | | + | |
- | * <math>\, y_{i}^{*}</math> - экономичный (оптимальный в смысле минимизации суммарных затрат в единицу времени) размер заказа;
| + | |
- | | + | |
- | * <math>\, a_{i}</math> - необходимое пространство для хранения единицы товара;
| + | |
- | | + | |
- | * <math>\, A</math> - максимальное складское пространство для хранения товаров <math>\, n</math> видов.
| + | |
- | | + | |
- | ==Оптимальная стратегия управления запасами==
| + | |
- | | + | |
- | В соответствии с предположениями модели динамику изменения запаса ресурса <math>\, i</math> имеет вид, рис. 1:
| + | |
- | | + | |
- | [[File:Z3pic1.png]]
| + | |
- | | + | |
- | '''Рис. 1.''' Динамика изменения запаса ресурса <math>\, i</math>.
| + | |
- | | + | |
- | Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада может быть формализована как задача нелинейного программирования:
| + | |
- | | + | |
- | <math>\min TCU(y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i} } +\frac{h_{i} y_{i} }{2} \right)</math>
| + | |
- | | + | |
- | <math>\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i} \le A</math>
| + | |
- | | + | |
- | <math>\, y_{i} >0</math>
| + | |
- | | + | |
- | <math>\,i=1,2,...,n</math>.
| + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | ''' Оптимальная стратегия управления запасами'''
| + | |
- | | + | |
- | Для сформулированной выше задачи нелинейного программирования функция Лагранжа имеет вид:
| + | |
- | | + | |
- | <math>L(\lambda ,y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )=TCU(y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )-\lambda \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i} -A\right)=</math>
| + | |
- | | + | |
- | <math> =\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i} } +\frac{h_{i} y_{i} }{2} \right) -\lambda \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i} -A\right)</math> ,
| + | |
- | | + | |
- | здесь <math>\, \lambda <0</math> - множитель Лагранжа.
| + | |
- | | + | |
- | Функция Лагранжа для многопродуктовой статической модели с ограниченной вместимостью склада является выпуклой, следовательно, оптимальное значение <math>\, \lambda</math> и <math>\, y_{i}</math> могут быть найдены из условий первого порядка:
| + | |
- | | + | |
- | <math> \frac{\partial L}{\partial \lambda } =-\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i} +A=0</math> (ограничение по вместимости склада в оптимальной точке);
| + | |
- | | + | |
- | <math>\frac{\partial L}{\partial y_{i} } =-\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i}^{2} } +\frac{h_{i} }{2} -\lambda a_{i} =0</math> .
| + | |
- | | + | |
- | Решение второго уравнения имеет вид:
| + | |
- | | + | |
- | <math>y_{i}^{*} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} -2\lambda ^{*} a_{i} } }</math> .
| + | |
- | | + | |
- | Значение, приближенное к оптимальному решению значению <math>\, \lambda ^{*}</math> с наперед заданной точностью можно найти следующим образом:
| + | |
- | | + | |
- | 1. Задать начальное значение <math>\, \lambda =0</math>
| + | |
- | | + | |
- | 2. Задать величину <math>\, \varepsilon</math> уменьшения значения <math>\, \lambda</math> (точность)
| + | |
- | | + | |
- | 3. Последовательно уменьшать <math>\, \lambda</math> на величину <math>\, \varepsilon</math>, подставляя значение <math>\, \lambda</math> в <math>y_{i} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} -2\lambda a_{i} } }</math> и проверяя выполнение ограничения по вместимости склада.
| + | |
- | | + | |
- | Оптимальная стратегия управления запасами в рассматриваемой модели имеет вид:
| + | |
- | | + | |
- | '''Шаг 1.''' Вычислить оптимальные объемы заказов каждого вида, не учитывая ограничение на вместимость склада (см. раздел [[Экономичный размер заказа]]) по формуле:
| + | |
- | | + | |
- | <math>y_{i}^{**} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} } }</math>,
| + | |
- | | + | |
- | <math>\, i=1,2,...,n</math>.
| + | |
- | | + | |
- | '''Шаг 2.''' При найденных значениях <math>\, y_{i}^{**}</math>, <math>\, i=1,2,...,n</math> проверить выполнение ограничения по вместимости склада. Если это ограничение выполняется, то набор величин <math>\, y_{i}^{*}</math>, <math>\, i=1,2,...,n</math> является оптимальным решением для многопродуктовой статической модели с ограниченной вместимостью склада. В противном случае, оптимальным решением является набор <math>\, y_{i}^{*}</math>, <math>\, i=1,2,...,n</math>
| + | |