Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада

Рассматривается случай статического объема спроса. 

==Основные предположения модели==

*	рассматривается задача управления несколькими видами запаса;

*	складское пространство ограничено;

*	интенсивность спроса на ресурс (количество единиц ресурса, потребляемых в единицу времени) - постоянная величина (константа);

*	закупочная цена единицы ресурса постоянна (константа, не зависит от объема заказа);

*	удельные затраты на хранение в единицу времени (затраты на хранение единицы ресурса в единицу времени) - постоянная величина (константа); 

*	затраты на оформление, связанные с размещением заказа, - постоянная величина (константа);

*	заказ размещается и пополняется мгновенно;

*	дефицит отсутствует.

==Основные обозначения==

Для запасов вида <math>\, i</math>, <math>\, i=1,2,...,n</math>:

*	 <math>\, D_{i}</math>  - интенсивность спроса на ресурс;

*	 <math>\, h_{i}</math>   - удельные затраты на хранение;

*	<math>\, K_{i}</math>   - затраты на оформление, связанные с размещением заказа;

*	 <math>\, TCU(y)</math> - суммарные затраты в единицу времени;

*	 <math>\, y_{i}</math>  - объем заказа (количество единиц ресурса); 

*	 <math>\, y_{i}^{*}</math>  -  экономичный (оптимальный в смысле минимизации суммарных затрат в единицу времени) размер заказа;

*	 <math>\, a_{i}</math> - необходимое пространство для хранения единицы товара;

*	<math>\, A</math>  - максимальное складское пространство для хранения товаров  <math>\, n</math>  видов.

==Оптимальная стратегия управления запасами==

В соответствии с предположениями модели динамику изменения запаса ресурса  <math>\, i</math>  имеет вид, рис. 1: 

[[File:Z3pic1.JPG]]

'''Рис. 1.''' Динамика изменения запаса ресурса  <math>\, i</math>.

Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада может быть формализована как задача нелинейного программирования:

<math>\min TCU(y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i} } +\frac{h_{i} y_{i} }{2} \right)</math> 

<math>\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i}  \le A</math>

<math>\, y_{i} >0</math>

<math>\,i=1,2,...,n</math>.


''' Оптимальная стратегия управления запасами'''

Для сформулированной выше задачи нелинейного программирования функция Лагранжа имеет вид:

<math>L(\lambda ,y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )=TCU(y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )-\lambda \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i}  -A\right)=</math>

<math> =\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i} } +\frac{h_{i} y_{i} }{2} \right) -\lambda \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i}  -A\right)</math> ,

здесь  <math>\, \lambda <0</math>  - множитель Лагранжа.

Функция Лагранжа для многопродуктовой статической модели с ограниченной вместимостью склада является выпуклой, следовательно, оптимальное значение  <math>\, \lambda</math>   и  <math>\, y_{i}</math>   могут быть найдены из условий первого порядка: 

<math> \frac{\partial L}{\partial \lambda } =-\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i}  +A=0</math>  (ограничение по вместимости склада в оптимальной точке);

<math>\frac{\partial L}{\partial y_{i} } =-\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i}^{2} } +\frac{h_{i} }{2} -\lambda a_{i} =0</math> .

Решение второго уравнения имеет вид:

<math>y_{i}^{*} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} -2\lambda ^{*} a_{i} } }</math>  .

Значение, приближенное к оптимальному решению значению  <math>\, \lambda ^{*}</math>  с наперед заданной точностью можно найти следующим образом:

1.	Задать  начальное значение  <math>\, \lambda =0</math> 

2.	Задать величину  <math>\, \varepsilon</math>   уменьшения значения  <math>\, \lambda</math>   (точность)

3.	Последовательно уменьшать  <math>\, \lambda</math>   на величину  <math>\, \varepsilon</math>, подставляя значение  <math>\, \lambda</math> в <math>y_{i} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} -2\lambda a_{i} } }</math> и проверяя выполнение ограничения по вместимости склада.

Оптимальная стратегия управления запасами в рассматриваемой модели имеет вид:

'''Шаг 1.''' Вычислить оптимальные объемы заказов каждого вида, не учитывая ограничение на вместимость склада (см. раздел [[Экономичный размер заказа]]) по формуле:

<math>y_{i}^{**} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} } }</math>,

<math>\, i=1,2,...,n</math>.

'''Шаг 2.''' При найденных значениях  <math>\, y_{i}^{**}</math>, <math>\, i=1,2,...,n</math> проверить выполнение ограничения по вместимости склада. Если это ограничение выполняется, то набор величин  <math>\, y_{i}^{*}</math>,  <math>\, i=1,2,...,n</math>  является оптимальным решением для многопродуктовой статической модели с ограниченной вместимостью склада. В противном случае, оптимальным решением является набор  <math>\, y_{i}^{*}</math>,  <math>\, i=1,2,...,n</math>