Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада

Материал из Supply Chain Management Encyclopedia

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Версия 11:21, 4 июня 2011

Рассматривается случай статического объема спроса.

Основные предположения модели

рассматривается задача управления несколькими видами запаса;

складское пространство ограничено;

интенсивность спроса на ресурс (количество единиц ресурса, потребляемых в единицу времени) - постоянная величина (константа);

закупочная цена единицы ресурса постоянна (константа, не зависит от объема заказа);

удельные затраты на хранение в единицу времени (затраты на хранение единицы ресурса в единицу времени) - постоянная величина (константа);

затраты на оформление, связанные с размещением заказа, - постоянная величина (константа);

заказ размещается и пополняется мгновенно;

дефицит отсутствует.

Основные обозначения

Для запасов вида $\, i$ , $\, i=1,2,...,n$ :

$\, D_{i}$ - интенсивность спроса на ресурс;

$\, h_{i}$ - удельные затраты на хранение;

$\, K_{i}$ - затраты на оформление, связанные с размещением заказа;

$\, TCU(y)$ - суммарные затраты в единицу времени;

$\, y_{i}$ - объем заказа (количество единиц ресурса);

$\, y_{i}^{*}$ - экономичный (оптимальный в смысле минимизации суммарных затрат в единицу времени) размер заказа;

$\, a_{i}$ - необходимое пространство для хранения единицы товара;

$\, A$ - максимальное складское пространство для хранения товаров $\, n$ видов.

Оптимальная стратегия управления запасами

В соответствии с предположениями модели динамику изменения запаса ресурса $\, i$ имеет вид, рис. 1:

Файл:Z3pic1.png

Рис. 1. Динамика изменения запаса ресурса $\, i$ .

Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада может быть формализована как задача нелинейного программирования:

$\min TCU(y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i} } +\frac{h_{i} y_{i} }{2} \right)$

$\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i} \le A$

$\, y_{i} >0$

$\,i=1,2,...,n$ .

Оптимальная стратегия управления запасами

Для сформулированной выше задачи нелинейного программирования функция Лагранжа имеет вид:

$L(\lambda ,y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )=TCU(y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )-\lambda \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i} -A\right)=$

$=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i} } +\frac{h_{i} y_{i} }{2} \right) -\lambda \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i} -A\right)$ ,

здесь $\, \lambda <0$ - множитель Лагранжа.

Функция Лагранжа для многопродуктовой статической модели с ограниченной вместимостью склада является выпуклой, следовательно, оптимальное значение $\, \lambda$ и $\, y_{i}$ могут быть найдены из условий первого порядка:

$\frac{\partial L}{\partial \lambda } =-\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i} +A=0$ (ограничение по вместимости склада в оптимальной точке);

$\frac{\partial L}{\partial y_{i} } =-\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i}^{2} } +\frac{h_{i} }{2} -\lambda a_{i} =0$ .

Решение второго уравнения имеет вид:

$y_{i}^{*} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} -2\lambda ^{*} a_{i} } }$ .

Значение, приближенное к оптимальному решению значению $\, \lambda ^{*}$ с наперед заданной точностью можно найти следующим образом:

1. Задать начальное значение $\, \lambda =0$

2. Задать величину $\, \varepsilon$ уменьшения значения $\, \lambda$ (точность)

3. Последовательно уменьшать $\, \lambda$ на величину $\, \varepsilon$ , подставляя значение $\, \lambda$ в $y_{i} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} -2\lambda a_{i} } }$ и проверяя выполнение ограничения по вместимости склада.

Оптимальная стратегия управления запасами в рассматриваемой модели имеет вид:

Шаг 1. Вычислить оптимальные объемы заказов каждого вида, не учитывая ограничение на вместимость склада (см. раздел Экономичный размер заказа) по формуле:

$y_{i}^{**} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} } }$ ,

$\, i=1,2,...,n$ .

Шаг 2. При найденных значениях $\, y_{i}^{**}$ , $\, i=1,2,...,n$ проверить выполнение ограничения по вместимости склада. Если это ограничение выполняется, то набор величин $\, y_{i}^{*}$ , $\, i=1,2,...,n$ является оптимальным решением для многопродуктовой статической модели с ограниченной вместимостью склада. В противном случае, оптимальным решением является набор $\, y_{i}^{*}$ , $\, i=1,2,...,n$

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-<math>\, D_{i}</math>  - интенсивность спроса на ресурс;
+Рассматривается случай статического объема спроса.
+==Основные предположения модели==
+*	рассматривается задача управления несколькими видами запаса;
+*	складское пространство ограничено;
+*	интенсивность спроса на ресурс (количество единиц ресурса, потребляемых в единицу времени) - постоянная величина (константа);
+*	закупочная цена единицы ресурса постоянна (константа, не зависит от объема заказа);
+*	удельные затраты на хранение в единицу времени (затраты на хранение единицы ресурса в единицу времени) - постоянная величина (константа);
+*	затраты на оформление, связанные с размещением заказа, - постоянная величина (константа);
+*	заказ размещается и пополняется мгновенно;
+*	дефицит отсутствует.
+==Основные обозначения==
+Для запасов вида <math>\, i</math>, <math>\, i=1,2,...,n</math>:
+*	 <math>\, D_{i}</math>  - интенсивность спроса на ресурс;
+*	 <math>\, h_{i}</math>   - удельные затраты на хранение;
+*	<math>\, K_{i}</math>   - затраты на оформление, связанные с размещением заказа;
+*	 <math>\, TCU(y)</math> - суммарные затраты в единицу времени;
+*	 <math>\, y_{i}</math>  - объем заказа (количество единиц ресурса);
+*	 <math>\, y_{i}^{*}</math>  -  экономичный (оптимальный в смысле минимизации суммарных затрат в единицу времени) размер заказа;
+*	 <math>\, a_{i}</math> - необходимое пространство для хранения единицы товара;
+*	<math>\, A</math>  - максимальное складское пространство для хранения товаров  <math>\, n</math>  видов.
+==Оптимальная стратегия управления запасами==
+В соответствии с предположениями модели динамику изменения запаса ресурса  <math>\, i</math>  имеет вид, рис. 1:
+[[File:Z3pic1.png]]
+'''Рис. 1.''' Динамика изменения запаса ресурса  <math>\, i</math>.
+Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада может быть формализована как задача нелинейного программирования:
+<math>\min TCU(y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i} } +\frac{h_{i} y_{i} }{2} \right)</math>
+<math>\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i}  \le A</math>
+<math>\, y_{i} >0</math>
+<math>\,i=1,2,...,n</math>.
+''' Оптимальная стратегия управления запасами'''
+Для сформулированной выше задачи нелинейного программирования функция Лагранжа имеет вид:
+<math>L(\lambda ,y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )=TCU(y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )-\lambda \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i}  -A\right)=</math>
+<math> =\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i} } +\frac{h_{i} y_{i} }{2} \right) -\lambda \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i}  -A\right)</math> ,
+здесь  <math>\, \lambda <0</math>  - множитель Лагранжа.
+Функция Лагранжа для многопродуктовой статической модели с ограниченной вместимостью склада является выпуклой, следовательно, оптимальное значение  <math>\, \lambda</math>   и  <math>\, y_{i}</math>   могут быть найдены из условий первого порядка:
+<math> \frac{\partial L}{\partial \lambda } =-\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i}  +A=0</math>  (ограничение по вместимости склада в оптимальной точке);
+<math>\frac{\partial L}{\partial y_{i} } =-\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i}^{2} } +\frac{h_{i} }{2} -\lambda a_{i} =0</math> .
+Решение второго уравнения имеет вид:
+<math>y_{i}^{*} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} -2\lambda ^{*} a_{i} } }</math>  .
+Значение, приближенное к оптимальному решению значению  <math>\, \lambda ^{*}</math>  с наперед заданной точностью можно найти следующим образом:
+.	Задать  начальное значение  <math>\, \lambda =0</math>
+.	Задать величину  <math>\, \varepsilon</math>   уменьшения значения  <math>\, \lambda</math>   (точность)
+.	Последовательно уменьшать  <math>\, \lambda</math>   на величину  <math>\, \varepsilon</math>, подставляя значение  <math>\, \lambda</math> в <math>y_{i} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} -2\lambda a_{i} } }</math> и проверяя выполнение ограничения по вместимости склада.
+Оптимальная стратегия управления запасами в рассматриваемой модели имеет вид:
+'''Шаг 1.''' Вычислить оптимальные объемы заказов каждого вида, не учитывая ограничение на вместимость склада (см. раздел [[Экономичный размер заказа]]) по формуле:
+<math>y_{i}^{**} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} } }</math>,
+<math>\, i=1,2,...,n</math>.
+'''Шаг 2.''' При найденных значениях  <math>\, y_{i}^{**}</math>, <math>\, i=1,2,...,n</math> проверить выполнение ограничения по вместимости склада. Если это ограничение выполняется, то набор величин  <math>\, y_{i}^{*}</math>,  <math>\, i=1,2,...,n</math>  является оптимальным решением для многопродуктовой статической модели с ограниченной вместимостью склада. В противном случае, оптимальным решением является набор  <math>\, y_{i}^{*}</math>,  <math>\, i=1,2,...,n</math>

Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада

Материал из Supply Chain Management Encyclopedia

Версия 11:21, 4 июня 2011

Основные предположения модели

Основные обозначения

Оптимальная стратегия управления запасами

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты

Печать/экспорт

Our Partners