Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада

Материал из Supply Chain Management Encyclopedia

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Содержимое страницы заменено на «<math>\, D_{i}</math> - интенсивность спроса на ресурс;»)
Строка 1: Строка 1:
-
<math>\, D_{i}</math>  - интенсивность спроса на ресурс;
+
Рассматривается случай статического объема спроса.
 +
 
 +
==Основные предположения модели==
 +
 
 +
* рассматривается задача управления несколькими видами запаса;
 +
 
 +
* складское пространство ограничено;
 +
 
 +
* интенсивность спроса на ресурс (количество единиц ресурса, потребляемых в единицу времени) - постоянная величина (константа);
 +
 
 +
* закупочная цена единицы ресурса постоянна (константа, не зависит от объема заказа);
 +
 
 +
* удельные затраты на хранение в единицу времени (затраты на хранение единицы ресурса в единицу времени) - постоянная величина (константа);
 +
 
 +
* затраты на оформление, связанные с размещением заказа, - постоянная величина (константа);
 +
 
 +
* заказ размещается и пополняется мгновенно;
 +
 
 +
* дефицит отсутствует.
 +
 
 +
==Основные обозначения==
 +
 
 +
Для запасов вида <math>\, i</math>, <math>\, i=1,2,...,n</math>:
 +
 
 +
* <math>\, D_{i}</math>  - интенсивность спроса на ресурс;
 +
 
 +
* <math>\, h_{i}</math>  - удельные затраты на хранение;
 +
 
 +
* <math>\, K_{i}</math>  - затраты на оформление, связанные с размещением заказа;
 +
 
 +
* <math>\, TCU(y)</math> - суммарные затраты в единицу времени;
 +
 
 +
* <math>\, y_{i}</math>  - объем заказа (количество единиц ресурса);
 +
 
 +
* <math>\, y_{i}^{*}</math>  -  экономичный (оптимальный в смысле минимизации суммарных затрат в единицу времени) размер заказа;
 +
 
 +
* <math>\, a_{i}</math> - необходимое пространство для хранения единицы товара;
 +
 
 +
* <math>\, A</math>  - максимальное складское пространство для хранения товаров  <math>\, n</math>  видов.
 +
 
 +
==Оптимальная стратегия управления запасами==
 +
 
 +
В соответствии с предположениями модели динамику изменения запаса ресурса  <math>\, i</math>  имеет вид, рис. 1:
 +
 
 +
[[File:Z3pic1.png]]
 +
 
 +
'''Рис. 1.''' Динамика изменения запаса ресурса  <math>\, i</math>.
 +
 
 +
Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада может быть формализована как задача нелинейного программирования:
 +
 
 +
<math>\min TCU(y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i} } +\frac{h_{i} y_{i} }{2} \right)</math>
 +
 
 +
<math>\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i}  \le A</math>
 +
 
 +
<math>\, y_{i} >0</math>
 +
 
 +
<math>\,i=1,2,...,n</math>.
 +
 
 +
 
 +
''' Оптимальная стратегия управления запасами'''
 +
 
 +
Для сформулированной выше задачи нелинейного программирования функция Лагранжа имеет вид:
 +
 
 +
<math>L(\lambda ,y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )=TCU(y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )-\lambda \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i}  -A\right)=</math>
 +
 
 +
<math> =\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i} } +\frac{h_{i} y_{i} }{2} \right) -\lambda \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i}  -A\right)</math> ,
 +
 
 +
здесь  <math>\, \lambda <0</math>  - множитель Лагранжа.
 +
 
 +
Функция Лагранжа для многопродуктовой статической модели с ограниченной вместимостью склада является выпуклой, следовательно, оптимальное значение  <math>\, \lambda</math>  и  <math>\, y_{i}</math>  могут быть найдены из условий первого порядка:
 +
 
 +
<math> \frac{\partial L}{\partial \lambda } =-\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i}  +A=0</math>  (ограничение по вместимости склада в оптимальной точке);
 +
 
 +
<math>\frac{\partial L}{\partial y_{i} } =-\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i}^{2} } +\frac{h_{i} }{2} -\lambda a_{i} =0</math> .
 +
 
 +
Решение второго уравнения имеет вид:
 +
 
 +
<math>y_{i}^{*} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} -2\lambda ^{*} a_{i} } }</math>  .
 +
 
 +
Значение, приближенное к оптимальному решению значению  <math>\, \lambda ^{*}</math>  с наперед заданной точностью можно найти следующим образом:
 +
 
 +
1. Задать  начальное значение  <math>\, \lambda =0</math>
 +
 
 +
2. Задать величину  <math>\, \varepsilon</math>  уменьшения значения  <math>\, \lambda</math>  (точность)
 +
 
 +
3. Последовательно уменьшать  <math>\, \lambda</math>  на величину  <math>\, \varepsilon</math>, подставляя значение  <math>\, \lambda</math> в <math>y_{i} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} -2\lambda a_{i} } }</math> и проверяя выполнение ограничения по вместимости склада.
 +
 
 +
Оптимальная стратегия управления запасами в рассматриваемой модели имеет вид:
 +
 
 +
'''Шаг 1.''' Вычислить оптимальные объемы заказов каждого вида, не учитывая ограничение на вместимость склада (см. раздел [[Экономичный размер заказа]]) по формуле:
 +
 
 +
<math>y_{i}^{**} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} } }</math>,
 +
 
 +
<math>\, i=1,2,...,n</math>.
 +
 
 +
'''Шаг 2.''' При найденных значениях  <math>\, y_{i}^{**}</math>, <math>\, i=1,2,...,n</math> проверить выполнение ограничения по вместимости склада. Если это ограничение выполняется, то набор величин  <math>\, y_{i}^{*}</math>,  <math>\, i=1,2,...,n</math>  является оптимальным решением для многопродуктовой статической модели с ограниченной вместимостью склада. В противном случае, оптимальным решением является набор  <math>\, y_{i}^{*}</math>,  <math>\, i=1,2,...,n</math>

Версия 11:21, 4 июня 2011

Рассматривается случай статического объема спроса.

Основные предположения модели

  • рассматривается задача управления несколькими видами запаса;
  • складское пространство ограничено;
  • интенсивность спроса на ресурс (количество единиц ресурса, потребляемых в единицу времени) - постоянная величина (константа);
  • закупочная цена единицы ресурса постоянна (константа, не зависит от объема заказа);
  • удельные затраты на хранение в единицу времени (затраты на хранение единицы ресурса в единицу времени) - постоянная величина (константа);
  • затраты на оформление, связанные с размещением заказа, - постоянная величина (константа);
  • заказ размещается и пополняется мгновенно;
  • дефицит отсутствует.

Основные обозначения

Для запасов вида \, i, \, i=1,2,...,n:

  • \, D_{i} - интенсивность спроса на ресурс;
  • \, h_{i} - удельные затраты на хранение;
  • \, K_{i} - затраты на оформление, связанные с размещением заказа;
  • \, TCU(y) - суммарные затраты в единицу времени;
  • \, y_{i} - объем заказа (количество единиц ресурса);
  • \, y_{i}^{*} - экономичный (оптимальный в смысле минимизации суммарных затрат в единицу времени) размер заказа;
  • \, a_{i} - необходимое пространство для хранения единицы товара;
  • \, A - максимальное складское пространство для хранения товаров \, n видов.

Оптимальная стратегия управления запасами

В соответствии с предположениями модели динамику изменения запаса ресурса \, i имеет вид, рис. 1:

Файл:Z3pic1.png

Рис. 1. Динамика изменения запаса ресурса \, i.

Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада может быть формализована как задача нелинейного программирования:

\min TCU(y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i} } +\frac{h_{i} y_{i} }{2} \right)

\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i}  \le A

\, y_{i} >0

\,i=1,2,...,n.


Оптимальная стратегия управления запасами

Для сформулированной выше задачи нелинейного программирования функция Лагранжа имеет вид:

L(\lambda ,y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )=TCU(y_{1} ,y_{2} ,...,y_{n} )-\lambda \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i}  -A\right)=

 =\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i} } +\frac{h_{i} y_{i} }{2} \right) -\lambda \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i}  -A\right) ,

здесь \, \lambda <0 - множитель Лагранжа.

Функция Лагранжа для многопродуктовой статической модели с ограниченной вместимостью склада является выпуклой, следовательно, оптимальное значение \, \lambda и \, y_{i} могут быть найдены из условий первого порядка:

 \frac{\partial L}{\partial \lambda } =-\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i} y_{i}  +A=0 (ограничение по вместимости склада в оптимальной точке);

\frac{\partial L}{\partial y_{i} } =-\frac{K_{i} D_{i} }{y_{i}^{2} } +\frac{h_{i} }{2} -\lambda a_{i} =0 .

Решение второго уравнения имеет вид:

y_{i}^{*} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} -2\lambda ^{*} a_{i} } } .

Значение, приближенное к оптимальному решению значению \, \lambda ^{*} с наперед заданной точностью можно найти следующим образом:

1. Задать начальное значение \, \lambda =0

2. Задать величину \, \varepsilon уменьшения значения \, \lambda (точность)

3. Последовательно уменьшать \, \lambda на величину \, \varepsilon, подставляя значение \, \lambda в y_{i} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} -2\lambda a_{i} } } и проверяя выполнение ограничения по вместимости склада.

Оптимальная стратегия управления запасами в рассматриваемой модели имеет вид:

Шаг 1. Вычислить оптимальные объемы заказов каждого вида, не учитывая ограничение на вместимость склада (см. раздел Экономичный размер заказа) по формуле:

y_{i}^{**} =\sqrt{\frac{2K_{i} D_{i} }{h_{i} } },

\, i=1,2,...,n.

Шаг 2. При найденных значениях \, y_{i}^{**}, \, i=1,2,...,n проверить выполнение ограничения по вместимости склада. Если это ограничение выполняется, то набор величин \, y_{i}^{*}, \, i=1,2,...,n является оптимальным решением для многопродуктовой статической модели с ограниченной вместимостью склада. В противном случае, оптимальным решением является набор \, y_{i}^{*}, \, i=1,2,...,n

Личные инструменты
Our Partners