Экономичный размер заказа с учетом скидки за прирост

'''English: [http://scm.gsom.spbu.ru/Incremental_Discounts Incremental discounts]'''

В модели экономичного размера заказа (см. [[Экономичный размер заказа]]) переменные затраты  <math>\,c</math> являются неизменными для любого размера заказа. При этом распространённой является практика предоставления скидки, если объем заказа достаточно большой. Скидка может предоставляться на весь объем заказа или на ту его часть, которая превосходит некоторый заранее определенный уровень (скидка за прирост). <ref> Zipkin P. (2000) Foundations of inventory management; The McGraw-Hill Companies, Inc.</ref>.

Первый случай рассмотрен в разделе [[Оптимальный размер запаса с разрывами цен]]. Рассмотрим модель экономичного размера заказа с учетом скидки за прирост: пусть закупочная цена на дополнительный объем снижается при уровне заказа, превышающем контрольную точку <math>\,BP</math> (break-point).

Переменные затраты равны  <math>\,c_{0} </math> для размера заказа до <math>\,BP</math>. Для заказа, превышающего <math>\,BP</math>, для единиц заказа свыше <math>\,BP</math>  устанавливается цена <math>\,c_{1} </math>, где  <math>\,c_{1} <c_{0} </math>.

Таким образом, общие затраты составляют:

<math>\,k+c\left(q\right),</math>

где

<math>\,c(q)=\left\{\begin{array}{ll} {c_{0} q,} & {0<q\le BP} \\ {c_{0} BP+c_{1} (q-BP),} & {q>BP} \end{array}\right.</math>

Рассмотрим вспомогательные константы <math>\,k_{0} =k</math> и <math>\,k_{1} =k+(c_{0} -c_{1} )BP</math>. Тогда затраты на оформление заказа имеют вид:

<math>\,k+c(q)=\left\{\begin{array}{ll} {k_{0} +c_{0} q,} & {0<q\le BP} \\ {k_{1} +c_{1} q,} & {q>BP} \end{array}\right. </math>

Эта функция наглядно представляет эффект экономии от масштаба, чем функция в виде суммы постоянных и переменных затрат.  

На рисунке ниже представлен график функции <math>\,c(q)</math> с учетом скидки за прирост:

[[File:IDZRus1.jpg|400px]]

Определив таким образом функцию затрат на оформление заказа, дальнейшие рассуждения аналогичны случаю экономичного размера запаса (см. [[Экономичный размер заказа]]), за исключением стоимости хранения. 

В дополнение к затратам, связанным с хранением запасов, <math>\,\underline{h}</math>, необходимо рассмотреть также параметр, отражающий стоимость денег <math>\,\alpha \frac{c(q)}{q} </math>.  

Здесь <math>\,\alpha </math> - процентная ставка, и <math>\,\frac{c(q)}{q} </math>  - средние переменные затраты. В результате, средние суммарные затраты имеют вид:

<math>\,C(q)=\left[k+c(q)\right]\cdot \frac{\lambda }{q} +q\cdot \frac{1}{2} \cdot \left[\underline{h}+\alpha \cdot \frac{c(q)}{q} \right]</math>

(функция <math>\,C</math> не дифференцируема в <math>\,q=BP</math>, таким образом, невозможно получить оптимальное решение только лишь с использованием условия первого порядка. Кроме того, функция <math>\,C</math> не является выпуклой.)

Заметим, что

<math>\,c(q)=\min \{ k_{0} +c_{0} q,k_{1} +c_{1} q\} -k,\, \, \, q>0.</math>


То есть, <math>\,c(q)</math> является нижней огибающей двух линейных функций, принимающих положительные значения в области определения и пересекающихся в точке  <math>\,BP</math>. Следовательно,


<math>\,C(q)=\min \{ C_{0} (q),C_{1} (q)\} </math>


где

<math>\,C_{0} (q)=c_{0} \lambda +\frac{k_{0} \lambda }{q} +\frac{1}{2} (\underline{h}+\alpha c_{0} )q</math>


<math>\,C_{1} (q)=c_{1} \lambda +k_{1} \frac{\lambda }{q} +\frac{1}{2} (\underline{h}+\alpha c_{1} )q+\frac{1}{2} \alpha (c_{0} -c_{1} )BP</math>


Как <math>\,C_{0}</math> так и <math>\,C_{1} </math> имеют тот же вид, что и функции средних общих затрат, что и в модели экономичного размера запаса. Обе функции выпуклые и дифференцируемые. Графики этих функций пересекаются в точке  <math>\,BP</math>. Пусть <math>\,q_{0}^{*}</math> и <math>\,q_{1}^{*}</math> являются соответствующими точками минимума этих функций. Кроме того,


<math>\,C'_{0} (q)=\frac{-k_{0} \lambda }{q^{2} } +\frac{1}{2} (\underline{h}+\alpha c_{0} )</math>


<math>\,C'_{1} (q)=\frac{-k_{1} \lambda }{q^{2} } +\frac{1}{2} (\underline{h}+\alpha c_{1} )</math>


Очевидно, <math>\,C'_{0} (q)>C'_{1} (q)</math>, следовательно, <math>\,q_{0}^{*} <q_{1}^{*}</math>. Возможны три случая:


* <math>\,q_{0}^{*} <q_{1}^{*} \le BP</math>
* <math>\,q_{0}^{*} <BP\le q_{1}^{*} </math>
* <math>\,BP\le q_{0}^{*} <q_{1}^{*} </math>


В случае 1, для <math>\,q\ge BP</math> имеет место неравенство:


<math>\,C(q)=C_{1} (q)\ge C_{1} (BP)=C_{0} (BP)>C_{0} (q_{0}^{*} )</math>


следовательно, <math>\,q_{0}^{*} </math> является оптимальной точкой. В случае 3, аналогично, <math>\,q_{1}^{*} </math> является оптимальным решением. Дополнительный анализ требуется лишь в случае 2. Здесь необходимо вычислить значения <math>\,C_{0} (q_{0}^{*} )</math> и <math>\,C_{1} (q_{1}^{*} )</math>, чтобы определить, какое из этих значений меньше.


В результате оптимальная политика управления запасами имеет следующий вид: вычислить <math>\,q_{0}^{*} </math> и <math>\,q_{1}^{*} </math> используя модель экономичного размера запаса. Сравнить их с величиной <math>\,BP</math>, чтобы определить, какой случай имеет место и, если необходимо, (в случае 2) сравнить соответствующие затраты.

=='''Библиографический список'''==
<references />

[[Category: Управление запасами]]